کار در کلاس صفحه ۱۷ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
سؤال زیر در یک امتحان ریاضی داده شده است.
«اگر $\text{a} = \frac{\text{a} - \text{d}}{\text{c} - \text{d}}$ آنگاه مطلوب است $\text{d}$. ($\text{a} \ne 1$)».
استدلال‌های زیر را برای به دست آوردن $\text{d}$ از برگه‌های امتحانی دانش‌آموزان آورده‌ایم. کدام یک از استدلال‌ها درست و کدام نادرست است؟ دلیل نادرستی هر استدلال غلط را بیان کنید.
الف)
۱) $\text{a} \ne \frac{\text{a} - \text{d}}{\text{c} - \text{d}}$
۲) $= \frac{\text{a} - \text{d}}{\text{c} - \text{d}}$
۳) $\text{d} = 0$
ب)
۱) $\text{a} = \frac{\text{a} - \text{d}}{\text{c} - \text{d}}$
۲) $\text{a}(\text{c} - \text{d}) = \text{a} - \text{d}$
۳) $\text{ac} - \text{ad} = \text{a} - \text{d}$
۴) $\text{ac} - \text{a} = \text{ad} - \text{d}$
۵) $\text{a}(\text{c} - 1) = (\text{a} - 1)\text{d}$
۶) $\frac{\cancel{\text{a}(\text{c} - 1)}}{\cancel{\text{a} - 1}} = \text{d}$
۷) $\text{d} = -(\text{c} - 1) \text{d}$
پ)
۱) $\text{a} = \frac{\text{a} - \text{d}}{\text{c} - \text{d}}$
۲) $\text{a}(\text{c} - \text{d}) = \text{a} - \text{d}$
۳) $\text{ac} - \text{ad} = \text{a} - \text{d}$
۴) $\text{ac} - \text{a} = (\text{a} - 1)\text{d}$
۵) $\frac{\text{ac} - \text{a}}{\text{a} - 1} = \text{d}$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه ۱۷ ریاضی و آمار یازدهم انسانی
دانش‌آموزان گرامی، هدف این تمرین شناسایی **اشتباهات رایج جبری** در فرآیند حل معادله است. باید هر استدلال را گام به گام بررسی کنیم تا ببینیم کدام روش **درست** و کدام **نادرست** است. مسئله اصلی یافتن $\text{d}$ از معادله $\text{a} = \frac{\text{a} - \text{d}}{\text{c} - \text{d}}$ با شرط $\text{a} \ne 1$ است.
### ۱. استدلال الف
| گام | عبارت | تحلیل | نتیجه |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| ۱ | $\text{a} \ne \frac{\text{a} - \text{d}}{\text{c} - \text{d}}$ | نماد "$\\ne$" به معنای نامساوی است، در حالی که معادله با مساوی شروع شده است. | **نادرست** |
| ۲ | $= \frac{\text{a} - \text{d}}{\text{c} - \text{d}}$ | علامت $\text{a}$ در سمت چپ جا افتاده است. | **نادرست** |
| ۳ | $\text{d} = 0$ | این نتیجه‌گیری بدون هیچ‌گونه عملیات جبری منطقی صورت گرفته و اشتباه است. | **نادرست** |
**نتیجه استدلال الف: نادرست**
**دلیل نادرستی:** شروع با نماد نامساوی در گام ۱ و حذف متغیر $\text{a}$ در گام ۲. همچنین گام ۳ بدون محاسبه انجام شده است.
---
### ۲. استدلال ب
| گام | عبارت | تحلیل | نتیجه |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| ۱ | $\text{a} = \frac{\text{a} - \text{d}}{\text{c} - \text{d}}$ | معادله اولیه. | $\checkmark$ |
| ۲ | $\text{a}(\text{c} - \text{d}) = \text{a} - \text{d}$ | ضرب طرفین در مخرج ($\\text{c} - \text{d}$). | $\checkmark$ |
| ۳ | $\text{ac} - \text{ad} = \text{a} - \text{d}$ | توزیع $\text{a}$ در پرانتز سمت چپ. | $\checkmark$ |
| ۴ | $\text{ac} - \text{a} = \text{ad} - \text{d}$ | انتقال متغیرها: جملات شامل $\text{d}$ (مانند $\text{-ad}$) به راست، و جملات بدون $\text{d}$ (ماند $\text{a}$) به چپ. | $\checkmark$ |
| ۵ | $\text{a}(\text{c} - 1) = (\text{a} - 1)\text{d}$ | **اشتباه فاکتورگیری در سمت چپ:** $\text{ac} - \text{a}$ به درستی فاکتور گرفته شده ($\\text{a}(\text{c}-1)$). اما در **سمت راست**، فاکتورگیری $\text{ad} - \text{d}$ باید $\text{d}(\text{a} - 1)$ باشد، نه $(\text{a} - 1)\text{d}$ که در واقع همان است. پس این گام درست است.
**خطای تصویر:** در تصویر، این گام به شکل $\text{a}(\text{c} - 1) = (\text{a} - 1)\text{d}$ آمده است که معادل گام ۴ است. اما در مرحله بعدی خطای بزرگی دیده می‌شود. | $\checkmark$ |
| ۶ | $\frac{\cancel{\text{a}(\text{c} - 1)}}{\cancel{\text{a} - 1}} = \text{d}$ | **اشتباه تقسیم:** در این گام، صورت $\text{a}(\text{c} - 1)$ بر مخرج $\text{a}-1$ تقسیم شده است. **خطای اصلی** در اینجا، **ساده‌سازی** (خط زدن) $\text{a}$ در صورت و مخرج است! نمی‌توان $(\text{a}(\text{c}-1))$ را بر $(\text{a}-1)$ ساده کرد، زیرا $\text{a}$ و $\text{-1}$ در مخرج در عملیات جمع و تفریق هستند. | **نادرست** |
| ۷ | $\text{d} = -(\text{c} - 1) \text{d}$ | این گام نتیجه منطقی از گام ۶ نیست و اشتباه است. | **نادرست** |
**نتیجه استدلال ب: نادرست**
**دلیل نادرستی:** **اشتباه در ساده‌سازی** در گام ۶. در یک کسر، نمی‌توان بخش‌هایی از صورت و مخرج که با هم در جمع یا تفریق هستند را خط زد. به طور خاص، $\frac{\text{a}(\text{c}-1)}{\text{a}-1} \ne \text{c}-1$.
---
### ۳. استدلال پ
| گام | عبارت | تحلیل | نتیجه |
|:---:|:---:|:---:|:---:|
| ۱ | $\text{a} = \frac{\text{a} - \text{d}}{\text{c} - \text{d}}$ | معادله اولیه. | $\checkmark$ |
| ۲ | $\text{a}(\text{c} - \text{d}) = \text{a} - \text{d}$ | ضرب طرفین در مخرج ($\\text{c} - \text{d}$). | $\checkmark$ |
| ۳ | $\text{ac} - \text{ad} = \text{a} - \text{d}$ | توزیع $\text{a}$. | $\checkmark$ |
| ۴ | $\text{ac} - \text{a} = (\text{a} - 1)\text{d}$ | **جدا کردن $\text{d}$:** متغیرهای شامل $\text{d}$ را به یک طرف ($\\text{ad} - \text{d}$ به سمت راست) و بقیه را به طرف دیگر منتقل کرده است ($\\text{ac} - \text{a}$ به سمت چپ). سپس از $\text{d}$ فاکتور گرفته است: $\text{ad} - \text{d} = \text{d}(\text{a} - 1)$. | $\checkmark$ |
| ۵ | $\frac{\text{ac} - \text{a}}{\text{a} - 1} = \text{d}$ | **محاسبهٔ نهایی:** تقسیم طرفین بر ضریب $\text{d}$، یعنی $(\text{a} - 1)$. چون در صورت سؤال شرط $\text{a} \ne 1$ داده شده، پس $(\text{a} - 1) \ne 0$ است و تقسیم مجاز است. | $\checkmark$ |
**نتیجه استدلال پ: درست**
**ساده‌سازی نهایی (اختیاری):** از صورت کسر در گام ۵، $\text{a}$ را فاکتور می‌گیریم:
$$\text{d} = \frac{\text{a}(\text{c} - 1)}{\text{a} - 1}$$
